数学传奇那些遥不可及的数字1毕达哥拉斯

数学的兴趣很大一部分来自于数学科学的普及。 历史上许多伟大数学家的一生都充满传奇色彩,令人着迷、向往。 了解他们的故事可以让我们对数学更加感兴趣,兴趣是最好的老师。 本文来自蔡天心所著《数学传奇:那些高不可攀的数字》。

本期分享的人物是伟大的数学家毕达哥拉斯。

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1. 轮胎——数论的发源地

如果我没记错的话,斜边的平方等于其他两条边的平方和。

2500多年前,希腊人毕达哥拉斯在诗歌中描述了他发现并证明的第一个数学定理。 历史上称为毕达哥拉斯定理,国内也称为毕达哥拉斯定理。 可以说,这个定理是全世界每一个中学生都知道的。

毕达哥拉斯是人类历史上第一位伟大的数学家和哲学家。 我们有必要了解他的生平和学术思想; 与此同时,创造了灿烂文明的古希腊人是如何看待数学和从事工作的? 数学研究也是我们比较感兴趣和好奇的事情。

毕达哥拉斯出生于爱琴海东端的萨摩斯岛,这里有无数的传说。 该岛面积400多平方公里(约相当于东海舟山岛)。 在希腊岛屿中排名第八。

在毕达哥拉斯时代,没有明确的国家概念。 萨摩斯岛与希腊大陆及其他岛屿和殖民地之间的联系主要是通过航海、贸易、神话和语言。 各地保持政治、经济独立。 萨摩斯岛是希腊神话中主神宙斯的妻子、天后赫拉的出生地。 岛上至今仍保存着赫拉神庙。 毕达哥拉斯移民到亚平宁半岛后不久,波斯人入侵小亚细亚,萨摩斯开始与雅典人结盟并被吞并。 后来先后被拜占庭和土耳其占领,直到1912年才回归希腊。

关于毕达哥拉斯的生卒年月,至今流传着两种不同的版本。 据《大英百科全书》记载,毕达哥拉斯生于公元前580年,卒于公元前500年,这与中国传奇哲学家老子可能的生卒日期相吻合。 另一种似乎更为普遍的理论是毕达哥拉斯出生于公元前 569 年。 笔者无意对此进行研究。 幸运的是,后人对于毕达哥拉斯一生的主要事迹和旅行的理解并没有太大的差异。

对于毕达哥拉斯个人来说,第一个重要因素可能是他的父亲不是本地人,甚至也不是来自小亚细亚或其他隔海相望的大希腊领土,而是来自腓尼基(今黎巴嫩)一个叫提尔的城市。 从公元前2000年直到罗马时代,提尔一直是腓尼基人的主要港口,也是三大名城之一(另外两个是西顿和贝罗特)。 它曾统治地中海的迦太基(今突尼斯、北非)。 )是提尔殖民地。

在毕达哥拉斯时代,提尔是一座著名的商业城市。 由于会计计算的需要而发展起来的算术。 一些数学史学家甚至认为提尔或腓尼基是数学分支“数论”(专门研究自然数或整数性质)的发源地。 正如埃及是几何学的发源地,巴格达以代数命名一样。

毕达哥拉斯的父亲是一位商人,在海外的萨摩斯岛建立了自己的生意。 他不仅业务精湛,而且为人慷慨。 有一年萨摩斯发生饥荒,他捐赠了几船粮食,并被授予“荣誉公民”称号。 从那时起,他就像今天无数在中国的外国投资者一样,战略性地转移了自己的事业和生活重心。

这个富有的陌生人很英俊,而且未婚。 不难想象,所有来自萨摩斯岛的年轻女孩都爱上了他。 最终,他选择了岛上最美丽的女孩。 俗话说,好事多磨,也许是出于嫉妒。 神庙里的祭司声称这个女孩将成为太阳神阿波罗所爱的女人。 尽管如此,这位陌生人在一番犹豫后还是娶了她,并很快生下了他的长子毕达哥拉斯。

当毕达哥拉斯变得聪明时,他的父亲经常带他出差。 不久,他送他回到家乡提尔接受启蒙教育,学习腓尼基语。 我们不妨推测,毕达哥拉斯小时候在商业发达的家乡接受了算术和数论技能的影响。

2. 长毛萨摩亚人

在提尔短暂居住后,毕达哥拉斯返回萨摩斯岛。 那时,岛上的教育已经正规化。 当男孩到了7岁的时候,他们必须去文法学校学习拼写和计算,然后去诗歌学校学习诗歌和音乐。

在古希腊,诗人是一个备受尊敬的职业。 比毕达哥拉斯早几个世纪,荷马出生在小亚细亚,他写了两首流传至今的史诗——《伊利亚特》和《奥德赛》。 诗校的老师一般都是诗人,如果是著名诗人,学费就极其昂贵。

毕达哥拉斯从提尔回来后不久,他的父亲就送他去伟大诗人克莱菲卢斯门下学习。 古希腊诗歌是在乐器伴奏下演唱的,诗人往往也是音乐家和歌手。 不仅如此,学习诗歌不仅需要学习音乐,还需要随着节奏跳舞、吟诵。

事实上,在当时的教育家眼中,诗歌是一切教育的基础。 即使是萨摩斯岛首席执行官这样的政治家,他的家族中仍然聘请了两位诗人。 诗校的老师除了对学生进行诗词艺术教育外,还教授他们政治、历史知识、辩论技巧,甚至提供体育和军事训练。 值得一提的是,体罚在那个时代也很盛行。

然而,毕达哥拉斯并不像后来的一些天才那样早熟。 到了18岁,他在任何领域都还没有做出什么惊人的发现。 那时,对知识的渴望在希腊已经很普遍。 在父母的支持下,他来到小亚细亚最繁华的城市米利都,向米利都学派的创始人泰勒斯寻求建议。

泰勒斯是人类历史上最早被命名的数学家、天文学家和哲学家。 他被公认为数学论证的先驱,并建立了至今仍然常见的五个几何公理。 最重要的结果是证明了后人所说的“泰勒定理”:半圆上的圆周角都是直角。

受泰勒斯思想的启发,毕达哥拉斯后来提出了“一切皆数”的一元论哲学。 值得一提的是,泰勒斯的母亲也有腓尼基血统,但他本人却从未结婚。 由于毕达哥拉斯年事已高,他拒绝收留毕达哥拉斯这位勤奋好学、上进的弟子。 相反,他建议他加入来自同城的另一位哲学家阿那克西曼德的弟子。

阿那克西曼德原本是泰勒斯的学生,两人有亲戚关系。 泰勒斯幸运的是,他有一部未完成的著作《论自然》流传下来。 除了泰勒斯和阿那克西曼德之外,毕达哥拉斯还曾到提洛岛拜菲尔库德斯为师。

提洛岛位于萨摩斯岛西南100多公里处。 虽然面积只有三平方公里,但却是希腊的宗教圣地,也是传说中的双胞胎兄弟太阳神和月亮神的诞生地。 菲尔库德斯是一位神话学家,与泰勒斯一样,都是“希腊七贤”之一。 他创造了爱神丘比特的形象。 他将生命的创造者和永远长不大的少年这两种相反的东西融合在一起,达到了一种和谐的状态。 受此影响,毕达哥拉斯后来也关注和谐,并试图用数字之间的关系来解释宇宙的和谐。

然而,菲尔库德对毕达哥拉斯影响最深远的恐怕是灵魂不朽、可以转世的理论。 菲尔库兹相信,一个人死后,他的灵魂会附着在另一个人的身体上,经过一段时间的旅行后回到人间; 同时,通过一定的训练,一个人可以回忆起他的灵魂曾经走过的路,也是我前世的经历。

受此启发,毕达哥拉斯相信自己的前身是主神的使者赫耳墨斯的儿子。 赫尔墨斯不仅掌管牲畜和商业,还掌管交通和旅行。 据说他完成了将第一个女人潘多拉送到人间的任务。 毕达哥拉斯能够频繁出国旅行,与萨摩斯岛乃至整个希腊地区的经济实力和军事地位密不可分。 当时,萨摩斯拥有希腊最大的图书馆。

3、埃及及东方游学

毫无疑问,毕达哥拉斯有一颗流浪的心。 三十几岁,本该成家立业,娶妻生子,却无法安身立命,从事经商活动。 他把继承家业的使命交给了两个弟弟,再次远走他乡。 毕达哥拉斯离开萨摩斯的直接原因是他得罪了当地的政客和牧师。 除了穿衣打扮之外,他的饮食起居也有所不同。 更重要的是,他推广了阿那克西曼德的理论,试图用物理原理来解释自然现象。 结果,他像20世纪的一些异见人士一样被驱逐出境。

毕达哥拉斯首先回到了他童年时居住过的父亲的故乡腓尼基,并游历了今天黎巴嫩、叙利亚和以色列沿海的各个城市,其中包括提尔。 古地中海地区的人们认为大西洋是世界的尽头,没有人敢跨越直布罗陀海峡。 然而,在毕达哥拉斯出生之前,腓尼基人就穿过这个海峡,沿着大西洋航行,北到达英格兰,南到达西非,并成功返回。 可以说,他们热爱冒险,是世界上最优秀的水手之一。 显然,毕达哥拉斯延续了腓尼基人的这种性格。

有一天,毕达哥拉斯在一座名叫卡迈勒的山神庙冥想时,看到海边漂浮着一张帆,决定乘船前往埃及。 接下来的故事就更神奇了。 这个长发、举止彬彬有礼的青年从山上飘了下来。 他只说了一句“我想去埃及”,然后二话不说就上了船。 我绝食抗议,连午睡都没睡。 船夫们先是一愣,继而肃然起敬,相信他是神。

果然,旅途平静,经过三天两夜的航行,船顺利抵达埃及港口。 埃及作为人类文明的发源地之一,在毕达哥拉斯生活的时候就已经衰落,并受到波斯帝国的威胁,只好向希腊寻求保护,尽管此时后者还没有达到顶峰。时间。

因此,当毕达哥拉斯透露自己是来学习智慧的时候,埃及人都受宠若惊,连国王都亲自接待了他。 只是当时最有智慧的人是寺庙里的祭司,所有的知识,包括数学,都是由他们口头保存和传承的。 埃及的宗教势力远强于希腊(这大概是该国实力衰落的原因之一)。 牧师们可能会对王室成员的言论充耳不闻,并且通常对外国人保持警惕。

为了能够与祭司们沟通,毕达哥拉斯走访了许多城市,从地中海沿岸到旧都底比斯,终于找到了一座愿意接纳他的偏远小神庙。 接下来,他猛烈学习古埃及象形文字(据说他是第一个学习这种语言的希腊人),当时这种文字已经被简化为所谓的象形文字。

值得一提的是,该文字在中世纪末期已失传,无人能破译。 直到1799年,占领埃及的拿破仑士兵才发现一块石碑,上面用希腊语、僧侣和象形文字写有同样的铭文,并被后世专家破译。

毕达哥拉斯在埃及生活了十年,对这个国家的语言、历史、数学、神话和宗教有了透彻的了解。 同时,他通过宣传和讲学向埃及人民介绍希腊神话和哲学,赢得了祭司阶层的尊重和信任。 毕达哥拉斯发现埃及祭司因为沉默而显得神秘而神秘。 后来,当他在意大利创办一所学院时,他把“守口如瓶”视为一种纪律,要求弟子们遵守。 他们只穿亚麻衣服和纸莎草鞋,这也是受到埃及祭司的影响。

不幸的是,埃及人从对尼罗河潮起潮落的观察中获得的几何学和天文学知识并不比毕达哥拉斯从米利都智者那里学到的知识多。 事实上,当时数学和天文学的领导者是巴比伦人。 但毕达哥拉斯在埃及过着非常舒适和受人尊敬的生活,这与他在祖国受到的冷遇形成鲜明对比,直到强大的波斯人入侵埃及。 毕达哥拉斯和所有在埃及的希腊人一起被俘虏并在巴比伦沦为奴隶,巴比伦已成为波斯人的领土。 没想到,他因祸得福,又得到了学习的好机会。

与尼罗河两岸的埃及文明一样,底格里斯河和幼发拉底河灌溉的美索不达米亚平原也是人类文明最早的发源地之一。 生活在这片土地上的巴比伦人创造了可与古埃及象形文字相媲美的楔形文字。 不同之处在于,已知的考古发现表明巴比伦人在数学方面更为先进,尤其是代数。 他们创建的基于 60 的系统(包括一天 24 小时、一小时 60 分钟、一分钟 60 秒)至今仍在使用。 它广泛应用于我们的日常生活中。 此外,平方根、二次方程根等计算已达到世界领先水平。

更令人惊讶的是,美国哥伦比亚大学收藏的一块楔形文字板表明,巴比伦人已经知道了几组满足毕达哥拉斯定理的整数。 这个事实表明,毕达哥拉斯可能是从巴比伦人那里学到了本文开头提到的定理(但巴比伦人和中国人一样,并没有在毕达哥拉斯之前提供证明)。 他被带到美索不达米亚后,先是成为一名波斯军官的奴隶,后来因为治愈了主人的瘙痒症而获得了自由。 他使用的民间疗法是从埃及祭司那里学到的。 这里不能排除毕达哥拉斯利用医学知识提前设下的陷阱。

毕达哥拉斯本可以离开巴比伦,但他主动留下来,因为他想了解和研究波斯琐罗亚斯德教。 这个由伊朗先知琐罗亚斯德创立的宗教认为,世界上存在善恶势力的斗争。 虽然后来衰落了,但它仍然延续至今,是世界上最古老的宗教。 受其基本教义的影响,毕达哥拉斯后来将奇数视为善良和阳刚的代表; 而偶数则成为邪恶和女性的代表。 后来他利用整数之间的比例关系来研究音乐理论,同时也受到了巴比伦占星学和数字神话的启发。

4.克罗托内学院

在巴比伦生活了五年后,毕达哥拉斯终于踏上了回家的路。 当他乘船返回萨摩斯时,距离启程已经十九年了。 马可波罗东渡的时间比法显、玄奘去印度的时间还要长。 毕达哥拉斯离开家乡时非常英俊,现在回来却头发花白。 起初,萨摩斯人民表现出了罕见的热情。 市长还请他向公众发表演讲,介绍自己东渡的经历。 市民们纷纷涌来。 他们想听听他对强大的波斯人是否会过来的分析。 (如上所述,该岛后来被波斯帝国占领)。

但很快,岛民的狭隘思想再次显露出来。 人们的态度分为两种。 年轻人认为毕达哥拉斯是智者,年长的人则认为他是疯子。 最后,一个同名的孩子痴迷于理解数学问题,偷偷来和他一起学习,并说服了他的父母。 这个孩子后来成为第一个倡导运动员注意饮食的人。 在这位学生的鼓励下,毕达哥拉斯在山上开设了一所“半圆学校”。 尽管当地的达官显贵和商人不喜欢他,但由于他在埃及赢得的声誉,年轻人仍然趋之若鹜。

当时希腊有很多小酒馆。 岛民最害怕的就是孤独。 萨摩斯人常常自带鱼干或橄榄,请店主买一杯酒,在那里互相传递消息。 住在山洞里的毕达哥拉斯和他的弟子们自然成为了人们议论的对象。 一番尴尬之后,他对教育方法、内容的质疑以及对敬神等本土方法的批评遭到嘲笑甚至咒骂。 其中,一大忌讳就是“数即神”。 他先是被迫将教学内容改为纯数学,然后又关闭了办学不到一年的学校。

记录基督事迹的约翰福音说:先知在当地不受尊重。 毕达哥拉斯50岁时,不得不再次离开萨摩斯,再也没有回到家乡。 这次他决定去意大利,但第一站是拜访提洛岛的菲尔库德斯。 这不是他最后一次来到这个岛上。 几年后,当他的恩师病危时,他再次前来保护。 随后,毕达哥拉斯访问了雅典、克里特岛和斯巴达城邦。 后者位于希腊大陆伯罗奔尼撒半岛东南部。 人们以勇敢和武术闻名。 当时雅典尚未繁荣,克里特岛已衰落。

在伯罗奔尼撒半岛的另一端,有一个名叫埃利斯的城邦,四年一度的奥运会正在这里举行。 那时,奥运会已经创办了两个半世纪。 虽然只有十多个项目,但比赛持续了五天,运动员来自欧、亚、非三大洲。 从奥林匹亚乘船,穿过宽阔的爱奥尼亚海向西,也就是意大利的南部。

比赛一结束,毕达哥拉斯就乘船出发了。 他所到达的克罗托内位于亚平宁半岛最南端,因出产奥运会冠军而闻名。 我们甚至可以猜测,他是随奥运冠军凯旋而归的。 就像回到萨摩斯时一样,克罗托内市长也邀请毕达哥拉斯向公众发表演讲。 没想到,这一次竟然大获成功,就连达官显贵、老人家都赞叹不已。 。

大希腊是一个多神教国家。 意大利南部最受崇拜的人是酒神狄俄尼索斯。 人们喜欢尽情地唱歌跳舞(这个习惯一直保留至今,这也是意大利南部经济落后于北部的主要原因)。 并没有太多的嫉妒。 同时,经过一些经验和教训,毕达哥拉斯变得成熟了许多,他的言谈变得更加优雅,他的动作也显得超凡脱俗。

很快,毕达哥拉斯就拥有了一大批支持者,其中一位是奥运会跳远冠军。 他将哑女戴安娜许配给了陌生人,两人生下了一对孩子。 就这样,毕达哥拉斯过上了安定的生活。 他首先建议市政府为缪斯女神建造一座神庙,然后在郊区设立一所学校或俱乐部,称为“城中之城”。

毕达哥拉斯将社会成员分为两类,称为毕达哥拉斯和毕达哥拉斯。 前者才华横溢,要求将财产交给公众,共同生活; 后者保留自己的私有财产,并可以与其他成员进行交流,相当于审计员。

后来根据工作性质进行了区分。 比如,管理学校内部事务的人被称为Politikoi,这大概就是后来“政治家”一词的由来,但当时他们对政治没有兴趣; 专门研究几何学和天文学的人被称为Mathematikoi,这正是“数学”的意思。 “家”一词的希腊语原型。 作为一所学校的校长和精神领袖,毕达哥拉斯除了制定规章制度和管理之外,还亲自负责招收新生。

凭借他的知名度和美誉度,许多富商或名人前来投靠,其中包括六届奥运会摔跤冠军米隆,据说他在开幕式上扛着一头公牛进入了会场。 可见古希腊人非常推崇智慧。 大多数俱乐部学生必须经历五年的观察期。 在此期间,作为旁听人员,只能站在帐篷外,不准说话、不准提问。 只有那些被称为“哲学家”的人才能进入账户。

从流传下来的雕塑或人物素描来看,古希腊哲学家大多表情严肃,毕达哥拉斯也不例外。 当他在萨摩斯时,他要求学生面壁思考。 当他们到达克罗内托时,他要求他的弟子对他们的讲座内容和研究经历保密。 有一次,一个名叫希帕索斯的学生因为泄露了正十二面体的秘密而被学校开除。 毕达哥拉斯悲痛欲绝,派人在海边修建了一座坟墓。 他宁愿将自己的弟子视为死人。 不过,这也成为了别人攻击他的一个理由,认为这个弟子是被推到海里淹死的。

5.神秘的数字和音乐

在现代西方主要语言中,“数学”一词源自古希腊语(Mathema)。 在毕达哥拉斯之前,这个词的意思是“可以学习的知识”。 到毕达哥拉斯时代,这个词已经成为“数学”的意思,但仅限于“自然数的知识”。 用于算术。

直到中世纪,欧洲教育体系中流行的“毕达哥拉斯四艺”之首是算术,其他三艺是几何学、天文学和音乐(可见“数学”一词的现代意义是至少在文艺复兴时期是后来形成的),而那个时候“代数”这个词还没有出现。 它于九世纪首次出现在阿拉伯语中。

毕达哥拉斯早期在诗歌学校的训练丰富了他的写作技巧,因此他用诗歌来描述他发明的第一个定理(见本文开头)。 这个早已被巴比伦人和中国人发现的定理的第一个证明是由毕达哥拉斯给出的。 据说,他紧紧地抱住哑巴妻子戴安娜,大喊:“我终于发现了!” 毕达哥拉斯还发现三角形的三个内角之和等于两个直角之和(这个命题的否定导致了非欧几何)。 他还证明了平面可以是正三角形、正四边形或正六边形。 形状已填充。 后来的镶嵌几何可以严格证明用其他正多边形填充平面是不可能的。

关于自然数,毕达哥拉斯最有趣的发现和定义是友好数和完美数。 所谓完全数,就是等于其真实因数之和的数,比如6和28,因为6=1+2+3,28=1+2+4+7+14。 后来圣经还提到,上帝用6天创造了世界(第七天是休息日),而相信地心说的古希腊人认为,月球绕地球转一周的时间是28小时。天。

必须指出的是,迄今为止,人们只找到了48个偶完全数(大约半个世纪就有一个)。 没有人找到哪怕一个奇完全数,但没有人可以否认它的存在。 亲和数是指其中一个是另一个的真实因数之和的一对数字,例如220和284。后人给亲和数添加了神秘的色彩,使其被用于魔术和占星术。 圣经还提到,雅各送他的孪生兄弟以扫220只羊来假装恋爱。 有趣的是,直到两千多年后,第二对亲和数(17926、18416)才被法国数论学家费马发现,而他的同胞、数学家、哲学家笛卡尔又发现了第三对。 。 尽管在电子计算机出现之前,数学家们已经发现了数十对亲和数,但第二小的亲和数对(1184、1210)是由一位 16 岁的意大利男孩帕加尼在 19 世纪末发现的。 倪发现了。

毕达哥拉斯一生做了两件事——从事神职人员工作和创办学校。 他在埃及的时候主要住在寺庙里,必然关心神话和宗教。 后来,当他到达克罗托内时,他开始传教和教导。 那时的数学知识非常有限,所以他不可能成为一个纯粹的数学家。 当他在萨摩斯岛时,他相信数字是上帝的语言。 现在他进一步得出结论:一切都是数字。 准确地说,毕达哥拉斯认为,我们所生活的世界上的大多数事物都只是过客,随时都会消亡。 只有数字和神才是永恒的。

这里的数字指的是自然数,它赋予了10以内的数字一些特殊的含义。1是所有数字的源头,也是男性的最高者——阿波罗。 2是众神之母。 3代表三维度,后来被基督教用来代表三位一体。 4象征着一年中的四个季节和人类的四种主要能力——智力、知识、判断力和感觉。 5是结婚数,等于最小的偶数2和除1以外的第一个奇数3(万物之源)之和。 6不仅是完美,更是神数。 古希腊人相信轮回的周期是216年(6的三次方)。 7不能被分解,是处女数。 8象征着和谐和友谊,正方体有8个顶点。 9是10内最大的平方数,所以是公平的。 10是前四个数字的总和,完美而神圣。

在毕达哥拉斯看来,所有的数学概念都应该是美丽的。 不仅如此,音乐之美也是建立在数字之上的。 在古希腊,音乐主要是带有器乐伴奏的单音音乐,例如齐声音乐。 直到毕达哥拉斯时代,音乐才成为一门独立的艺术。 我们今天所熟悉的音乐、旋律、节奏、和声等术语,都来自希腊语。 的。 毕达哥拉斯擅长演奏的乐器是七弦琴。 他是第一个将音乐用于教育的人。 学院每天的第一课是音乐。 在他的心目中,宇宙是一个巨大的管弦乐队,每一颗星辰都是一个智慧的灵魂,一个神,一个数字,一个乐器。

文艺复兴以来,毕达哥拉斯的黄金分割、和谐比例等思想被运用到美学中,他的数学和哲学思想得到了广泛传播。 许多人文主义者认为他是“精确大师”(包括数学)。 “科学之父”。 他从数学的角度解释了世界,大体确立了自然科学的发展方向,影响了后世科学家。 16世纪初,波兰天文学家哥白尼认为他的“日心说”属于毕达哥拉斯哲学体系。 之后,发现自由落体定律的意大利物理学家伽利略也被称为毕达哥拉斯主义者。 ,而17世纪创立微积分的德国数学家莱布尼茨则认为自己是毕达哥拉斯主义的最后传人。

由于毕达哥拉斯学派发现的非理性,数学遇到了第一次危机。 从勾股定理中提取的整数方程(其解称为勾股三元组)引出了费马最后定理,该定理造就了过去三个世纪世界上最聪明的人。 很多人一头雾水,这个定理的最终证明在20世纪末引起了轰动。

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